1.سهلة
كمية تنمو وفق dy/dt = k·y مع k > 0. قيمتها 500 عند t = 0 و 1050 عند t = 8 h. أوجد ثابت المعدل k بالـ h⁻¹.
y(0) = 500y(8) = 1050
k = h⁻¹
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
مزرعة بكتيرية تبدأ بـ 1500 خلية وتنمو وفق dN/dt = k·N مع k = 0,14 h⁻¹. بعد كم ساعة t يصبح عددها 7500 خلية؟
N0 = 1500k = 0,14 h⁻¹N = 7500
t = h
3.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 340 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 25 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,04 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 39 min.
T0 = 340 °CTa = 25 °Ck = 0,04 min⁻¹t = 39 min
T = °C
4.متوسطة
كوب قهوة عند 88 °C تُرك في غرفة عند 21 °C. بعد 18 min تكون درجة حرارتها 54 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.
T0 = 88 °CTa = 21 °CT(18) = 54 °C
k = min⁻¹
5.صعبة
حلّ مسألة القيمة الابتدائية y′ + 2y/x = 3 لـ x > 0، مع y(1) = 1. أوجد y(2).
y′ + 2y/x = 3y(1) = 1
y(2) =
6.صعبة
حلّ y′ + y = 7e−3t مع y(0) = 3. أوجد y(1,5).
y′ + y = 7e−3ty(0) = 3
y(1.5) =
مفتاح الإجابات
- 1. k = 0,09274 h⁻¹
- 2. t = 11,5 h
- 3. T = 91,19 °C
- 4. k = 0,03934 min⁻¹
- 5. y(2) = 2
- 6. y(1.5) = 1,411
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.