1.سهلة
كمية تضمحلّ وفق dy/dt = −k·y مع k > 0. قيمتها 100 عند t = 0 و 45 عند t = 10 h. أوجد ثابت المعدل k بالـ h⁻¹.
y(0) = 100y(10) = 45
k = h⁻¹
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 2,4y′ + 16y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 2,4y′ + 16y = 0
ζ =
3.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 380 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 27 °C. بعد 27 min تكون درجة حرارتها 184 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 243 °C؟
T0 = 380 °CTa = 27 °CT(27) = 184 °CT = 243 °C
t = min
4.متوسطة
حلّ y″ + 8y′ + 16y = 0 مع y(0) = 2 وy′(0) = 2. أوجد y(2).
y″ + 8y′ + 16y = 0y(0) = 2y′(0) = 2
y(2) =
5.صعبة
حلّ y′ + 0,5y = 6e−2t مع y(0) = 4. أوجد y(1).
y′ + 0,5y = 6e−2ty(0) = 4
y(1) =
6.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 2y′ + 10y = 50 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد القيمة العظمى ymax لاستجابته للدخل الدرجي.
y″ + 2y′ + 10y = 50y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
مفتاح الإجابات
- 1. k = 0,07985 h⁻¹
- 2. ζ = 0,3
- 3. t = 16,37 min
- 4. y(2) = 0,00738
- 5. y(1) = 4,311
- 6. ymax = 6,755
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.