1.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 1,2y′ + 9y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 1,2y′ + 9y = 0
ζ =
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
كمية تنمو وفق dy/dt = k·y مع k > 0. قيمتها 120 عند t = 0 و 336 عند t = 10 h. أوجد ثابت المعدل k بالـ h⁻¹.
y(0) = 120y(10) = 336
k = h⁻¹
3.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 340 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 24 °C. بعد 31 min تكون درجة حرارتها 115 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.
T0 = 340 °CTa = 24 °CT(31) = 115 °C
k = min⁻¹
4.متوسطة
حلّ y″ + 6y′ + 5y = 0 مع y(0) = 2 وy′(0) = 2. أوجد y(2).
y″ + 6y′ + 5y = 0y(0) = 2y′(0) = 2
y(2) =
5.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + y′ + 16,25y = 16,25 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد القيمة العظمى ymax لاستجابته للدخل الدرجي.
y″ + y′ + 16,25y = 16,25y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
6.صعبة
حلّ مسألة القيمة الابتدائية y′ + y/x = 1 لـ x > 0، مع y(1) = −3. أوجد y(3).
y′ + y/x = 1y(1) = −3
y(3) =
مفتاح الإجابات
- 1. ζ = 0,2
- 2. k = 0,103 h⁻¹
- 3. k = 0,04016 min⁻¹
- 4. y(2) = 0,406
- 5. ymax = 1,675
- 6. y(3) = 0,3333
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.