1.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 0,6y′ + 9y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 0,6y′ + 9y = 0
ζ =
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
مقتفٍ مشعّ عمر النصف له 27 يومًا. تحتوي العيّنة في البداية 80 mg. يتبع الاضمحلال dm/dt = −k·m. كم يتبقى m بعد 78 يومًا؟
m0 = 80 mgt½ = 27 dt = 78 d
m = mg
3.متوسطة
علبة مشروب غازي عند 6 °C أُخرجت من الثلاجة إلى غرفة عند 30 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,06 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 19 min.
T0 = 6 °CTa = 30 °Ck = 0,06 min⁻¹t = 19 min
T = °C
4.متوسطة
حلّ y″ + 5y′ + 4y = 0 مع y(0) = 3 وy′(0) = -2. أوجد y(2).
y″ + 5y′ + 4y = 0y(0) = 3y′(0) = -2
y(2) =
5.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 2y′ + 10y = 100 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد y(0,25)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + 2y′ + 10y = 100y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.25) =
6.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 3y′ + 18,25y = 36,5 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد القيمة العظمى ymax لاستجابته للدخل الدرجي.
y″ + 3y′ + 18,25y = 36,5y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
مفتاح الإجابات
- 1. ζ = 0,1
- 2. m = 10,8 mg
- 3. T = 22,32 °C
- 4. y(2) = 0,451
- 5. y(0.25) = 2,532
- 6. ymax = 2,616
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.