1.سهلة
كمية تنمو وفق dy/dt = k·y مع k > 0. قيمتها 200 عند t = 0 و 460 عند t = 9 h. أوجد ثابت المعدل k بالـ h⁻¹.
y(0) = 200y(9) = 460
k = h⁻¹
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
للمعادلة y″ + 3y′ + 2y = 0، أوجد جذر المعادلة المميِّزة r الأقرب إلى الصفر. إنه يحدد مدى بطء تلاشي الحل.
y″ + 3y′ + 2y = 0
r =
3.متوسطة
حلّ y″ + 5y′ + 6y = 0 مع y(0) = 3 وy′(0) = 0. أوجد y(2).
y″ + 5y′ + 6y = 0y(0) = 3y′(0) = 0
y(2) =
4.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 440 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 24 °C. بعد 40 min تكون درجة حرارتها 149 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.
T0 = 440 °CTa = 24 °CT(40) = 149 °C
k = min⁻¹
5.صعبة
حلّ y′ + 0,5y = 2e−t مع y(0) = 0. أوجد y(2).
y′ + 0,5y = 2e−ty(0) = 0
y(2) =
6.صعبة
خزان يحتوي 500 L من الماء النقي. محلول ملحي يحتوي 0,05 kg من الملح لكل لتر يتدفّق إلى الداخل بمعدل 2 L/min، ويخرج المحلول جيد الخلط بالمعدل نفسه. بعد كم دقيقة t يحتوي الخزان 20 kg من الملح؟
V = 500 Lm0 = 0 kgc = 0,05 kg/Lr = 2 L/min
t = min
مفتاح الإجابات
- 1. k = 0,09255 h⁻¹
- 2. r = −1
- 3. y(2) = 0,15
- 4. k = 0,03006 min⁻¹
- 5. y(2) = 0,9302
- 6. t = 402,4 min
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.