1.سهلة
كمية تنمو وفق dy/dt = k·y مع k > 0. قيمتها 200 عند t = 0 و 400 عند t = 2 h. أوجد ثابت المعدل k بالـ h⁻¹.
y(0) = 200y(2) = 400
k = h⁻¹
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 12y′ + 25y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 12y′ + 25y = 0
ζ =
3.متوسطة
علبة مشروب غازي عند 6 °C أُخرجت من الثلاجة إلى غرفة عند 26 °C. بعد 19 min تكون درجة حرارتها 22 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.
T0 = 6 °CTa = 26 °CT(19) = 22 °C
k = min⁻¹
4.متوسطة
علبة مشروب غازي عند 3 °C أُخرجت من الثلاجة إلى غرفة عند 30 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,1 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 19 min.
T0 = 3 °CTa = 30 °Ck = 0,1 min⁻¹t = 19 min
T = °C
5.صعبة
حلّ y′ + 0,5y = 8e−t مع y(0) = 1. أوجد y(2).
y′ + 0,5y = 8e−ty(0) = 1
y(2) =
6.صعبة
حلّ y″ + 2y′ + 17y = 0 مع y(0) = 2 وy′(0) = 0 (تُترك من السكون). أوجد y(0,5)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + 2y′ + 17y = 0y(0) = 2y′(0) = 0
y(0.5) =
مفتاح الإجابات
- 1. k = 0,3466 h⁻¹
- 2. ζ = 1,2
- 3. k = 0,08471 min⁻¹
- 4. T = 25,96 °C
- 5. y(2) = 4,089
- 6. y(0.5) = −0,2291
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.