1.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 3y′ + 25y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 3y′ + 25y = 0
ζ =
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
للمعادلة y″ + 5y′ + 4y = 0، أوجد جذر المعادلة المميِّزة r الأقرب إلى الصفر. إنه يحدد مدى بطء تلاشي الحل.
y″ + 5y′ + 4y = 0
r =
3.متوسطة
كوب قهوة عند 83 °C تُرك في غرفة عند 21 °C. بعد 21 min تكون درجة حرارتها 30 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.
T0 = 83 °CTa = 21 °CT(21) = 30 °C
k = min⁻¹
4.متوسطة
كوب قهوة عند 93 °C تُرك في غرفة عند 24 °C. بعد 15 min تكون درجة حرارتها 57 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.
T0 = 93 °CTa = 24 °CT(15) = 57 °C
k = min⁻¹
5.صعبة
خزان يحتوي 100 L من الماء أُذيب فيه 5 kg من الملح. محلول ملحي يحتوي 0,2 kg من الملح لكل لتر يتدفّق إلى الداخل بمعدل 10 L/min، ويخرج المحلول جيد الخلط بالمعدل نفسه. كم من الملح m يوجد في الخزان بعد 20 min؟
V = 100 Lm0 = 5 kgc = 0,2 kg/Lr = 10 L/min
m = kg
6.صعبة
حلّ y′ + 0,5y = 8e−t مع y(0) = 2. أوجد y(2).
y′ + 0,5y = 8e−ty(0) = 2
y(2) =
مفتاح الإجابات
- 1. ζ = 0,3
- 2. r = −1
- 3. k = 0,0919 min⁻¹
- 4. k = 0,04917 min⁻¹
- 5. m = 17,97 kg
- 6. y(2) = 4,456
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.