1.سهلة
كمية تنمو وفق dy/dt = k·y مع k > 0. قيمتها 200 عند t = 0 و 340 عند t = 2 h. أوجد ثابت المعدل k بالـ h⁻¹.
y(0) = 200y(2) = 340
k = h⁻¹
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 1,2y′ + 4y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 1,2y′ + 4y = 0
ζ =
3.متوسطة
كوب قهوة عند 87 °C تُرك في غرفة عند 19 °C. بعد 26 min تكون درجة حرارتها 43 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.
T0 = 87 °CTa = 19 °CT(26) = 43 °C
k = min⁻¹
4.متوسطة
كوب قهوة عند 81 °C تُرك في غرفة عند 22 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,08 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 22 min.
T0 = 81 °CTa = 22 °Ck = 0,08 min⁻¹t = 22 min
T = °C
5.صعبة
حلّ مسألة القيمة الابتدائية y′ + 2y/x = 1 لـ x > 0، مع y(1) = −1. أوجد y(2).
y′ + 2y/x = 1y(1) = −1
y(2) =
6.صعبة
خزان يحتوي 1000 L من الماء النقي. محلول ملحي يحتوي 0,25 kg من الملح لكل لتر يتدفّق إلى الداخل بمعدل 20 L/min، ويخرج المحلول جيد الخلط بالمعدل نفسه. كم من الملح m يوجد في الخزان بعد 55 min؟
V = 1000 Lm0 = 0 kgc = 0,25 kg/Lr = 20 L/min
m = kg
مفتاح الإجابات
- 1. k = 0,2653 h⁻¹
- 2. ζ = 0,3
- 3. k = 0,04006 min⁻¹
- 4. T = 32,15 °C
- 5. y(2) = 0,3333
- 6. m = 166,8 kg
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.