1.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 0,4y′ + 4y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 0,4y′ + 4y = 0
ζ =
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
مزرعة بكتيرية تبدأ بـ 5000 خلية وتنمو وفق dN/dt = k·N مع k = 0,04 h⁻¹. كم خلية N توجد بعد 21 h؟
N0 = 5000k = 0,04 h⁻¹t = 21 h
N =
3.متوسطة
حلّ y″ + 4y′ + 4y = 0 مع y(0) = 3 وy′(0) = 0. أوجد y(2).
y″ + 4y′ + 4y = 0y(0) = 3y′(0) = 0
y(2) =
4.متوسطة
كوب قهوة عند 84 °C تُرك في غرفة عند 19 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,12 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 17 min.
T0 = 84 °CTa = 19 °Ck = 0,12 min⁻¹t = 17 min
T = °C
5.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 2y′ + 26y = 130 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد القيمة العظمى ymax لاستجابته للدخل الدرجي.
y″ + 2y′ + 26y = 130y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
6.صعبة
خزان يحتوي 1000 L من الماء أُذيب فيه 20 kg من الملح. محلول ملحي يحتوي 0,2 kg من الملح لكل لتر يتدفّق إلى الداخل بمعدل 2 L/min، ويخرج المحلول جيد الخلط بالمعدل نفسه. كم من الملح m يوجد في الخزان بعد 65 min؟
V = 1000 Lm0 = 20 kgc = 0,2 kg/Lr = 2 L/min
m = kg
مفتاح الإجابات
- 1. ζ = 0,1
- 2. N = 11582
- 3. y(2) = 0,2747
- 4. T = 27,45 °C
- 5. ymax = 7,667
- 6. m = 41,94 kg
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.