1.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 4y′ + 64y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 4y′ + 64y = 0
ζ =
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
كمية تضمحلّ وفق dy/dt = −k·y مع k > 0. قيمتها 500 عند t = 0 و 400 عند t = 4 h. أوجد ثابت المعدل k بالـ h⁻¹.
y(0) = 500y(4) = 400
k = h⁻¹
3.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 300 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 26 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,04 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 13 min.
T0 = 300 °CTa = 26 °Ck = 0,04 min⁻¹t = 13 min
T = °C
4.متوسطة
حلّ y″ + 3y′ + 2y = 0 مع y(0) = 1 وy′(0) = -2. أوجد y(2).
y″ + 3y′ + 2y = 0y(0) = 1y′(0) = -2
y(2) =
5.صعبة
حلّ مسألة القيمة الابتدائية y′ + 2y/x = 2x2 لـ x > 0، مع y(1) = 5. أوجد y(2).
y′ + 2y/x = 2x2y(1) = 5
y(2) =
6.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 4y′ + 29y = 145 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد القيمة العظمى ymax لاستجابته للدخل الدرجي.
y″ + 4y′ + 29y = 145y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
مفتاح الإجابات
- 1. ζ = 0,25
- 2. k = 0,05579 h⁻¹
- 3. T = 188,9 °C
- 4. y(2) = 0,01832
- 5. y(2) = 4,35
- 6. ymax = 6,423
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.