1.سهلة
مقتفٍ مشعّ عمر النصف له 11 يومًا. تحتوي العيّنة في البداية 10 mg. يتبع الاضمحلال dm/dt = −k·m. كم يتبقى m بعد 8 يومًا؟
m0 = 10 mgt½ = 11 dt = 8 d
m = mg
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
كمية تنمو وفق dy/dt = k·y مع k > 0. قيمتها 400 عند t = 0 و 1480 عند t = 2 h. أوجد ثابت المعدل k بالـ h⁻¹.
y(0) = 400y(2) = 1480
k = h⁻¹
3.متوسطة
علبة مشروب غازي عند 5 °C أُخرجت من الثلاجة إلى غرفة عند 29 °C. بعد 16 min تكون درجة حرارتها 16 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.
T0 = 5 °CTa = 29 °CT(16) = 16 °C
k = min⁻¹
4.متوسطة
حلّ y″ + 4y′ + 4y = 0 مع y(0) = 1 وy′(0) = 1. أوجد y(1).
y″ + 4y′ + 4y = 0y(0) = 1y′(0) = 1
y(1) =
5.صعبة
حلّ y′ + 2y = 5e−t مع y(0) = 1. أوجد y(0,5).
y′ + 2y = 5e−ty(0) = 1
y(0.5) =
6.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + y′ + 25,25y = 252,5 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد القيمة العظمى ymax لاستجابته للدخل الدرجي.
y″ + y′ + 25,25y = 252,5y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
مفتاح الإجابات
- 1. m = 6,04 mg
- 2. k = 0,6542 h⁻¹
- 3. k = 0,03832 min⁻¹
- 4. y(1) = 0,5413
- 5. y(0.5) = 1,561
- 6. ymax = 17,3
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.