1.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 1,6y′ + 64y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 1,6y′ + 64y = 0
ζ =
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
مقتفٍ مشعّ عمر النصف له 21 يومًا. تحتوي العيّنة في البداية 50 mg. يتبع الاضمحلال dm/dt = −k·m. كم يتبقى m بعد 39 يومًا؟
m0 = 50 mgt½ = 21 dt = 39 d
m = mg
3.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 340 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 20 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,05 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 39 min.
T0 = 340 °CTa = 20 °Ck = 0,05 min⁻¹t = 39 min
T = °C
4.متوسطة
حلّ y″ + 8y′ + 16y = 0 مع y(0) = 2 وy′(0) = 0. أوجد y(1).
y″ + 8y′ + 16y = 0y(0) = 2y′(0) = 0
y(1) =
5.صعبة
خزان يحتوي 500 L من الماء أُذيب فيه 10 kg من الملح. محلول ملحي يحتوي 0,1 kg من الملح لكل لتر يتدفّق إلى الداخل بمعدل 4 L/min، ويخرج المحلول جيد الخلط بالمعدل نفسه. بعد كم دقيقة t يحتوي الخزان 22 kg من الملح؟
V = 500 Lm0 = 10 kgc = 0,1 kg/Lr = 4 L/min
t = min
6.صعبة
حلّ مسألة القيمة الابتدائية y′ + 2y/x = 6x لـ x > 0، مع y(1) = 2. أوجد y(3).
y′ + 2y/x = 6xy(1) = 2
y(3) =
مفتاح الإجابات
- 1. ζ = 0,1
- 2. m = 13,8 mg
- 3. T = 65,53 °C
- 4. y(1) = 0,1832
- 5. t = 44,58 min
- 6. y(3) = 13,56
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.