1.سهلة
مقتفٍ مشعّ عمر النصف له 14 يومًا. تحتوي العيّنة في البداية 120 mg. يتبع الاضمحلال dm/dt = −k·m. كم يتبقى m بعد 49 يومًا؟
m0 = 120 mgt½ = 14 dt = 49 d
m = mg
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
مزرعة بكتيرية تبدأ بـ 200 خلية وتنمو وفق dN/dt = k·N مع k = 0,16 h⁻¹. كم خلية N توجد بعد 15 h؟
N0 = 200k = 0,16 h⁻¹t = 15 h
N =
3.متوسطة
كوب قهوة عند 85 °C تُرك في غرفة عند 19 °C. بعد 27 min تكون درجة حرارتها 36 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 25 °C؟
T0 = 85 °CTa = 19 °CT(27) = 36 °CT = 25 °C
t = min
4.متوسطة
علبة مشروب غازي عند 4 °C أُخرجت من الثلاجة إلى غرفة عند 29 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,07 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 24 min.
T0 = 4 °CTa = 29 °Ck = 0,07 min⁻¹t = 24 min
T = °C
5.صعبة
حلّ y′ + 0,5y = 2e−3t مع y(0) = 2. أوجد y(0,5).
y′ + 0,5y = 2e−3ty(0) = 2
y(0.5) =
6.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 3y′ + 27,25y = 136,3 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد y(1)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + 3y′ + 27,25y = 136,3y(0) = 0y′(0) = 0
y(1) =
مفتاح الإجابات
- 1. m = 10,61 mg
- 2. N = 2205
- 3. t = 47,73 min
- 4. T = 24,34 °C
- 5. y(0.5) = 2,002
- 6. y(1) = 5,004
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.