1.سهلة
كمية تضمحلّ وفق dy/dt = −k·y مع k > 0. قيمتها 100 عند t = 0 و 70 عند t = 3 h. أوجد ثابت المعدل k بالـ h⁻¹.
y(0) = 100y(3) = 70
k = h⁻¹
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 4,8y′ + 36y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 4,8y′ + 36y = 0
ζ =
3.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 360 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 23 °C. بعد 31 min تكون درجة حرارتها 95 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.
T0 = 360 °CTa = 23 °CT(31) = 95 °C
k = min⁻¹
4.متوسطة
حلّ y″ + 6y′ + 9y = 0 مع y(0) = 2 وy′(0) = -2. أوجد y(2).
y″ + 6y′ + 9y = 0y(0) = 2y′(0) = -2
y(2) =
5.صعبة
حلّ y″ + 4y′ + 20y = 0 مع y(0) = 5 وy′(0) = 0 (تُترك من السكون). أوجد y(0,75)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + 4y′ + 20y = 0y(0) = 5y′(0) = 0
y(0.75) =
6.صعبة
حلّ y″ + 3y′ + 11,25y = 0 مع y(0) = 2 وy′(0) = 0 (تُترك من السكون). أوجد y(0,5)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + 3y′ + 11,25y = 0y(0) = 2y′(0) = 0
y(0.5) =
مفتاح الإجابات
- 1. k = 0,1189 h⁻¹
- 2. ζ = 0,4
- 3. k = 0,04979 min⁻¹
- 4. y(2) = 0,02479
- 5. y(0.75) = −1,026
- 6. y(0.5) = 0,538
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.