1.سهلة
كمية تنمو وفق dy/dt = k·y مع k > 0. قيمتها 50 عند t = 0 و 145 عند t = 9 h. أوجد ثابت المعدل k بالـ h⁻¹.
y(0) = 50y(9) = 145
k = h⁻¹
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
كمية تنمو وفق dy/dt = k·y مع k > 0. قيمتها 250 عند t = 0 و 350 عند t = 10 h. أوجد ثابت المعدل k بالـ h⁻¹.
y(0) = 250y(10) = 350
k = h⁻¹
3.متوسطة
علبة مشروب غازي عند 5 °C أُخرجت من الثلاجة إلى غرفة عند 28 °C. بعد 8 min تكون درجة حرارتها 17 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.
T0 = 5 °CTa = 28 °CT(8) = 17 °C
k = min⁻¹
4.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 340 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 28 °C. بعد 59 min تكون درجة حرارتها 81 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 211 °C؟
T0 = 340 °CTa = 28 °CT(59) = 81 °CT = 211 °C
t = min
5.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 4y′ + 13y = 130 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد y(1,5)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + 4y′ + 13y = 130y(0) = 0y′(0) = 0
y(1.5) =
6.صعبة
حلّ y″ + y′ + 4,25y = 0 مع y(0) = 1 وy′(0) = 0 (تُترك من السكون). أوجد y(0,75)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + y′ + 4,25y = 0y(0) = 1y′(0) = 0
y(0.75) =
مفتاح الإجابات
- 1. k = 0,1183 h⁻¹
- 2. k = 0,03365 h⁻¹
- 3. k = 0,0922 min⁻¹
- 4. t = 17,76 min
- 5. y(1.5) = 10,43
- 6. y(0.75) = 0,22
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.