1.سهلة
مزرعة بكتيرية تبدأ بـ 1500 خلية وتنمو وفق dN/dt = k·N مع k = 0,39 h⁻¹. بعد كم ساعة t يصبح عددها 3000 خلية؟
N0 = 1500k = 0,39 h⁻¹N = 3000
t = h
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
كمية تضمحلّ وفق dy/dt = −k·y مع k > 0. قيمتها 250 عند t = 0 و 188 عند t = 9 h. أوجد ثابت المعدل k بالـ h⁻¹.
y(0) = 250y(9) = 188
k = h⁻¹
3.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 500 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 25 °C. بعد 30 min تكون درجة حرارتها 286 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 372 °C؟
T0 = 500 °CTa = 25 °CT(30) = 286 °CT = 372 °C
t = min
4.متوسطة
حلّ y″ + 6y′ + 9y = 0 مع y(0) = 1 وy′(0) = 0. أوجد y(2).
y″ + 6y′ + 9y = 0y(0) = 1y′(0) = 0
y(2) =
5.صعبة
حلّ مسألة القيمة الابتدائية y′ + y/x = 2 لـ x > 0، مع y(1) = 0. أوجد y(2).
y′ + y/x = 2y(1) = 0
y(2) =
6.صعبة
حلّ y″ + 3y′ + 27,25y = 0 مع y(0) = 1 وy′(0) = 0 (تُترك من السكون). أوجد y(0,75)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + 3y′ + 27,25y = 0y(0) = 1y′(0) = 0
y(0.75) =
مفتاح الإجابات
- 1. t = 1,777 h
- 2. k = 0,03167 h⁻¹
- 3. t = 15,73 min
- 4. y(2) = 0,01735
- 5. y(2) = 1,5
- 6. y(0.75) = −0,3221
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.