1.سهلة
للمعادلة y″ + 5y′ + 4y = 0، أوجد جذر المعادلة المميِّزة r الأقرب إلى الصفر. إنه يحدد مدى بطء تلاشي الحل.
y″ + 5y′ + 4y = 0
r =
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 2,4y′ + 9y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 2,4y′ + 9y = 0
ζ =
3.متوسطة
كوب قهوة عند 82 °C تُرك في غرفة عند 19 °C. بعد 18 min تكون درجة حرارتها 28 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 24 °C؟
T0 = 82 °CTa = 19 °CT(18) = 28 °CT = 24 °C
t = min
4.متوسطة
علبة مشروب غازي عند 6 °C أُخرجت من الثلاجة إلى غرفة عند 27 °C. بعد 6 min تكون درجة حرارتها 14 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.
T0 = 6 °CTa = 27 °CT(6) = 14 °C
k = min⁻¹
5.صعبة
حلّ y′ + y = 7e−0,5t مع y(0) = 1. أوجد y(1,5).
y′ + y = 7e−0,5ty(0) = 1
y(1.5) =
6.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 4y′ + 8y = 8 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد y(0,25)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + 4y′ + 8y = 8y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.25) =
مفتاح الإجابات
- 1. r = −1
- 2. ζ = 0,4
- 3. t = 23,44 min
- 4. k = 0,07993 min⁻¹
- 5. y(1.5) = 3,712
- 6. y(0.25) = 0,1769
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.