1.سهلة
كمية تضمحلّ وفق dy/dt = −k·y مع k > 0. قيمتها 80 عند t = 0 و 68 عند t = 10 h. أوجد ثابت المعدل k بالـ h⁻¹.
y(0) = 80y(10) = 68
k = h⁻¹
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
كمية تنمو وفق dy/dt = k·y مع k > 0. قيمتها 50 عند t = 0 و 165 عند t = 9 h. أوجد ثابت المعدل k بالـ h⁻¹.
y(0) = 50y(9) = 165
k = h⁻¹
3.متوسطة
كوب قهوة عند 92 °C تُرك في غرفة عند 19 °C. بعد 24 min تكون درجة حرارتها 23 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.
T0 = 92 °CTa = 19 °CT(24) = 23 °C
k = min⁻¹
4.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 420 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 29 °C. بعد 36 min تكون درجة حرارتها 162 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 82 °C؟
T0 = 420 °CTa = 29 °CT(36) = 162 °CT = 82 °C
t = min
5.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 4y′ + 13y = 130 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد y(0,5)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + 4y′ + 13y = 130y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.5) =
6.صعبة
حلّ y″ + y′ + 4,25y = 0 مع y(0) = 10 وy′(0) = 0 (تُترك من السكون). أوجد y(0,5)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + y′ + 4,25y = 0y(0) = 10y′(0) = 0
y(0.5) =
مفتاح الإجابات
- 1. k = 0,01625 h⁻¹
- 2. k = 0,1327 h⁻¹
- 3. k = 0,121 min⁻¹
- 4. t = 66,72 min
- 5. y(0.5) = 7,293
- 6. y(0.5) = 5,846
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.