1.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 2y′ + 16y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 2y′ + 16y = 0
ζ =
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
مزرعة بكتيرية تبدأ بـ 2000 خلية وتنمو وفق dN/dt = k·N مع k = 0,02 h⁻¹. بعد كم ساعة t يصبح عددها 20000 خلية؟
N0 = 2000k = 0,02 h⁻¹N = 20000
t = h
3.متوسطة
كوب قهوة عند 84 °C تُرك في غرفة عند 18 °C. بعد 6 min تكون درجة حرارتها 61 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.
T0 = 84 °CTa = 18 °CT(6) = 61 °C
k = min⁻¹
4.متوسطة
كوب قهوة عند 95 °C تُرك في غرفة عند 18 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,08 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 22 min.
T0 = 95 °CTa = 18 °Ck = 0,08 min⁻¹t = 22 min
T = °C
5.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 4y′ + 8y = 40 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد القيمة العظمى ymax لاستجابته للدخل الدرجي.
y″ + 4y′ + 8y = 40y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
6.صعبة
حلّ y′ + 3y = 2e−2t مع y(0) = 3. أوجد y(1,5).
y′ + 3y = 2e−2ty(0) = 3
y(1.5) =
مفتاح الإجابات
- 1. ζ = 0,25
- 2. t = 115,1 h
- 3. k = 0,07141 min⁻¹
- 4. T = 31,25 °C
- 5. ymax = 5,216
- 6. y(1.5) = 0,1107
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.