1.سهلة
مقتفٍ مشعّ عمر النصف له 26 يومًا. تحتوي العيّنة في البداية 20 mg. يتبع الاضمحلال dm/dt = −k·m. كم يتبقى m بعد 90 يومًا؟
m0 = 20 mgt½ = 26 dt = 90 d
m = mg
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
كمية تنمو وفق dy/dt = k·y مع k > 0. قيمتها 400 عند t = 0 و 1440 عند t = 8 h. أوجد ثابت المعدل k بالـ h⁻¹.
y(0) = 400y(8) = 1440
k = h⁻¹
3.متوسطة
علبة مشروب غازي عند 5 °C أُخرجت من الثلاجة إلى غرفة عند 28 °C. بعد 30 min تكون درجة حرارتها 21 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 25 °C؟
T0 = 5 °CTa = 28 °CT(30) = 21 °CT = 25 °C
t = min
4.متوسطة
حلّ y″ + 4y′ + 4y = 0 مع y(0) = 1 وy′(0) = -2. أوجد y(2).
y″ + 4y′ + 4y = 0y(0) = 1y′(0) = -2
y(2) =
5.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 3y′ + 11,25y = 112,5 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد y(0,25)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + 3y′ + 11,25y = 112,5y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.25) =
6.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 4y′ + 29y = 290 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد y(1,5)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + 4y′ + 29y = 290y(0) = 0y′(0) = 0
y(1.5) =
مفتاح الإجابات
- 1. m = 1,816 mg
- 2. k = 0,1601 h⁻¹
- 3. t = 51,37 min
- 4. y(2) = 0,01832
- 5. y(0.25) = 2,629
- 6. y(1.5) = 9,641
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.