1.سهلة
مقتفٍ مشعّ عمر النصف له 11 يومًا. تحتوي العيّنة في البداية 80 mg. يتبع الاضمحلال dm/dt = −k·m. كم يتبقى m بعد 6 يومًا؟
m0 = 80 mgt½ = 11 dt = 6 d
m = mg
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 2y′ + 16y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 2y′ + 16y = 0
ζ =
3.متوسطة
كوب قهوة عند 83 °C تُرك في غرفة عند 22 °C. بعد 15 min تكون درجة حرارتها 47 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.
T0 = 83 °CTa = 22 °CT(15) = 47 °C
k = min⁻¹
4.متوسطة
حلّ y″ + 8y′ + 16y = 0 مع y(0) = 5 وy′(0) = 0. أوجد y(1).
y″ + 8y′ + 16y = 0y(0) = 5y′(0) = 0
y(1) =
5.صعبة
حلّ y″ + y′ + 4,25y = 0 مع y(0) = 2 وy′(0) = 0 (تُترك من السكون). أوجد y(1)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + y′ + 4,25y = 0y(0) = 2y′(0) = 0
y(1) =
6.صعبة
خزان يحتوي 1000 L من الماء أُذيب فيه 10 kg من الملح. محلول ملحي يحتوي 0,2 kg من الملح لكل لتر يتدفّق إلى الداخل بمعدل 2 L/min، ويخرج المحلول جيد الخلط بالمعدل نفسه. بعد كم دقيقة t يحتوي الخزان 162 kg من الملح؟
V = 1000 Lm0 = 10 kgc = 0,2 kg/Lr = 2 L/min
t = min
مفتاح الإجابات
- 1. m = 54,81 mg
- 2. ζ = 0,25
- 3. k = 0,05947 min⁻¹
- 4. y(1) = 0,4579
- 5. y(1) = −0,2291
- 6. t = 804,7 min
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.