1.سهلة
للمعادلة y″ + 9y′ + 18y = 0، أوجد جذر المعادلة المميِّزة r الأقرب إلى الصفر. إنه يحدد مدى بطء تلاشي الحل.
y″ + 9y′ + 18y = 0
r =
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 9,6y′ + 64y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 9,6y′ + 64y = 0
ζ =
3.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 500 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 24 °C. بعد 18 min تكون درجة حرارتها 422 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.
T0 = 500 °CTa = 24 °CT(18) = 422 °C
k = min⁻¹
4.متوسطة
حلّ y″ + 2y′ + y = 0 مع y(0) = 5 وy′(0) = 4. أوجد y(1,5).
y″ + 2y′ + y = 0y(0) = 5y′(0) = 4
y(1.5) =
5.صعبة
حلّ y′ + 3y = 3e−t مع y(0) = 2. أوجد y(2).
y′ + 3y = 3e−ty(0) = 2
y(2) =
6.صعبة
خزان يحتوي 200 L من الماء أُذيب فيه 10 kg من الملح. محلول ملحي يحتوي 0,25 kg من الملح لكل لتر يتدفّق إلى الداخل بمعدل 20 L/min، ويخرج المحلول جيد الخلط بالمعدل نفسه. كم من الملح m يوجد في الخزان بعد 20 min؟
V = 200 Lm0 = 10 kgc = 0,25 kg/Lr = 20 L/min
m = kg
مفتاح الإجابات
- 1. r = −3
- 2. ζ = 0,6
- 3. k = 0,009943 min⁻¹
- 4. y(1.5) = 4,128
- 5. y(2) = 0,2042
- 6. m = 44,59 kg
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.