1.سهلة
للمعادلة y″ + 3y′ + 2y = 0، أوجد جذر المعادلة المميِّزة r الأقرب إلى الصفر. إنه يحدد مدى بطء تلاشي الحل.
y″ + 3y′ + 2y = 0
r =
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
كمية تنمو وفق dy/dt = k·y مع k > 0. قيمتها 100 عند t = 0 و 360 عند t = 8 h. أوجد ثابت المعدل k بالـ h⁻¹.
y(0) = 100y(8) = 360
k = h⁻¹
3.متوسطة
كوب قهوة عند 94 °C تُرك في غرفة عند 20 °C. بعد 20 min تكون درجة حرارتها 27 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.
T0 = 94 °CTa = 20 °CT(20) = 27 °C
k = min⁻¹
4.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 340 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 22 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,03 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 56 min.
T0 = 340 °CTa = 22 °Ck = 0,03 min⁻¹t = 56 min
T = °C
5.صعبة
حلّ y″ + 3y′ + 11,25y = 0 مع y(0) = 5 وy′(0) = 0 (تُترك من السكون). أوجد y(1,5)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + 3y′ + 11,25y = 0y(0) = 5y′(0) = 0
y(1.5) =
6.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 4y′ + 29y = 290 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد القيمة العظمى ymax لاستجابته للدخل الدرجي.
y″ + 4y′ + 29y = 290y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
مفتاح الإجابات
- 1. r = −1
- 2. k = 0,1601 h⁻¹
- 3. k = 0,1179 min⁻¹
- 4. T = 81,27 °C
- 5. y(1.5) = −0,3687
- 6. ymax = 12,85
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.