1.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + y′ + 25y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + y′ + 25y = 0
ζ =
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
مقتفٍ مشعّ عمر النصف له 22 يومًا. تحتوي العيّنة في البداية 20 mg. يتبع الاضمحلال dm/dt = −k·m. كم يتبقى m بعد 72 يومًا؟
m0 = 20 mgt½ = 22 dt = 72 d
m = mg
3.متوسطة
حلّ y″ + 4y′ + 3y = 0 مع y(0) = 3 وy′(0) = -4. أوجد y(0,5).
y″ + 4y′ + 3y = 0y(0) = 3y′(0) = -4
y(0.5) =
4.متوسطة
كوب قهوة عند 80 °C تُرك في غرفة عند 24 °C. بعد 23 min تكون درجة حرارتها 38 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 29 °C؟
T0 = 80 °CTa = 24 °CT(23) = 38 °CT = 29 °C
t = min
5.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 4y′ + 8y = 40 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد y(1)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + 4y′ + 8y = 40y(0) = 0y′(0) = 0
y(1) =
6.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 4y′ + 13y = 130 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد القيمة العظمى ymax لاستجابته للدخل الدرجي.
y″ + 4y′ + 13y = 130y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
مفتاح الإجابات
- 1. ζ = 0,1
- 2. m = 2,069 mg
- 3. y(0.5) = 1,628
- 4. t = 40,08 min
- 5. y(1) = 4,666
- 6. ymax = 11,23
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.