1.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 3,6y′ + 9y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 3,6y′ + 9y = 0
ζ =
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
مزرعة بكتيرية تبدأ بـ 200 خلية وتنمو وفق dN/dt = k·N مع k = 0,3 h⁻¹. كم خلية N توجد بعد 5 h؟
N0 = 200k = 0,3 h⁻¹t = 5 h
N =
3.متوسطة
علبة مشروب غازي عند 3 °C أُخرجت من الثلاجة إلى غرفة عند 26 °C. بعد 12 min تكون درجة حرارتها 17 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.
T0 = 3 °CTa = 26 °CT(12) = 17 °C
k = min⁻¹
4.متوسطة
حلّ y″ + 4y′ + 4y = 0 مع y(0) = 3 وy′(0) = -2. أوجد y(2).
y″ + 4y′ + 4y = 0y(0) = 3y′(0) = -2
y(2) =
5.صعبة
حلّ مسألة القيمة الابتدائية y′ + 3y/x = 5 لـ x > 0، مع y(1) = 2. أوجد y(3).
y′ + 3y/x = 5y(1) = 2
y(3) =
6.صعبة
خزان يحتوي 400 L من الماء أُذيب فيه 20 kg من الملح. محلول ملحي يحتوي 0,25 kg من الملح لكل لتر يتدفّق إلى الداخل بمعدل 5 L/min، ويخرج المحلول جيد الخلط بالمعدل نفسه. بعد كم دقيقة t يحتوي الخزان 52 kg من الملح؟
V = 400 Lm0 = 20 kgc = 0,25 kg/Lr = 5 L/min
t = min
مفتاح الإجابات
- 1. ζ = 0,6
- 2. N = 896,3
- 3. k = 0,07819 min⁻¹
- 4. y(2) = 0,2015
- 5. y(3) = 3,778
- 6. t = 40,87 min
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.