1.سهلة
للمعادلة y″ + 6y′ + 8y = 0، أوجد جذر المعادلة المميِّزة r الأقرب إلى الصفر. إنه يحدد مدى بطء تلاشي الحل.
y″ + 6y′ + 8y = 0
r =
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
مقتفٍ مشعّ عمر النصف له 8 يومًا. تحتوي العيّنة في البداية 100 mg. يتبع الاضمحلال dm/dt = −k·m. كم يتبقى m بعد 28 يومًا؟
m0 = 100 mgt½ = 8 dt = 28 d
m = mg
3.متوسطة
علبة مشروب غازي عند 4 °C أُخرجت من الثلاجة إلى غرفة عند 28 °C. بعد 30 min تكون درجة حرارتها 24 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 12 °C؟
T0 = 4 °CTa = 28 °CT(30) = 24 °CT = 12 °C
t = min
4.متوسطة
علبة مشروب غازي عند 4 °C أُخرجت من الثلاجة إلى غرفة عند 26 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,05 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 5 min.
T0 = 4 °CTa = 26 °Ck = 0,05 min⁻¹t = 5 min
T = °C
5.صعبة
خزان يحتوي 1000 L من الماء أُذيب فيه 20 kg من الملح. محلول ملحي يحتوي 0,2 kg من الملح لكل لتر يتدفّق إلى الداخل بمعدل 5 L/min، ويخرج المحلول جيد الخلط بالمعدل نفسه. بعد كم دقيقة t يحتوي الخزان 128 kg من الملح؟
V = 1000 Lm0 = 20 kgc = 0,2 kg/Lr = 5 L/min
t = min
6.صعبة
خزان يحتوي 200 L من الماء أُذيب فيه 5 kg من الملح. محلول ملحي يحتوي 0,1 kg من الملح لكل لتر يتدفّق إلى الداخل بمعدل 5 L/min، ويخرج المحلول جيد الخلط بالمعدل نفسه. بعد كم دقيقة t يحتوي الخزان 13 kg من الملح؟
V = 200 Lm0 = 5 kgc = 0,1 kg/Lr = 5 L/min
t = min
مفتاح الإجابات
- 1. r = −2
- 2. m = 8,839 mg
- 3. t = 6,789 min
- 4. T = 8,866 °C
- 5. t = 183,3 min
- 6. t = 30,49 min
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.