1.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + y′ + 4y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + y′ + 4y = 0
ζ =
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
للمعادلة y″ + 6y′ + 8y = 0، أوجد جذر المعادلة المميِّزة r الأقرب إلى الصفر. إنه يحدد مدى بطء تلاشي الحل.
y″ + 6y′ + 8y = 0
r =
3.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 480 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 28 °C. بعد 17 min تكون درجة حرارتها 221 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.
T0 = 480 °CTa = 28 °CT(17) = 221 °C
k = min⁻¹
4.متوسطة
كوب قهوة عند 85 °C تُرك في غرفة عند 19 °C. بعد 22 min تكون درجة حرارتها 41 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.
T0 = 85 °CTa = 19 °CT(22) = 41 °C
k = min⁻¹
5.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 2y′ + 17y = 85 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد القيمة العظمى ymax لاستجابته للدخل الدرجي.
y″ + 2y′ + 17y = 85y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
6.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 4y′ + 29y = 58 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد y(0,25)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + 4y′ + 29y = 58y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.25) =
مفتاح الإجابات
- 1. ζ = 0,25
- 2. r = −2
- 3. k = 0,05006 min⁻¹
- 4. k = 0,04994 min⁻¹
- 5. ymax = 7,28
- 6. y(0.25) = 1,157
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.