1.سهلة
مزرعة بكتيرية تبدأ بـ 2000 خلية وتنمو وفق dN/dt = k·N مع k = 0,3 h⁻¹. كم خلية N توجد بعد 9 h؟
N0 = 2000k = 0,3 h⁻¹t = 9 h
N =
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
للمعادلة y″ + 6y′ + 8y = 0، أوجد جذر المعادلة المميِّزة r الأقرب إلى الصفر. إنه يحدد مدى بطء تلاشي الحل.
y″ + 6y′ + 8y = 0
r =
3.متوسطة
كوب قهوة عند 83 °C تُرك في غرفة عند 18 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,04 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 24 min.
T0 = 83 °CTa = 18 °Ck = 0,04 min⁻¹t = 24 min
T = °C
4.متوسطة
علبة مشروب غازي عند 4 °C أُخرجت من الثلاجة إلى غرفة عند 27 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,08 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 16 min.
T0 = 4 °CTa = 27 °Ck = 0,08 min⁻¹t = 16 min
T = °C
5.صعبة
خزان يحتوي 1000 L من الماء أُذيب فيه 10 kg من الملح. محلول ملحي يحتوي 0,1 kg من الملح لكل لتر يتدفّق إلى الداخل بمعدل 10 L/min، ويخرج المحلول جيد الخلط بالمعدل نفسه. بعد كم دقيقة t يحتوي الخزان 64 kg من الملح؟
V = 1000 Lm0 = 10 kgc = 0,1 kg/Lr = 10 L/min
t = min
6.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 2y′ + 10y = 100 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد y(1,5)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + 2y′ + 10y = 100y(0) = 0y′(0) = 0
y(1.5) =
مفتاح الإجابات
- 1. N = 29759
- 2. r = −2
- 3. T = 42,89 °C
- 4. T = 20,61 °C
- 5. t = 91,63 min
- 6. y(1.5) = 11,2
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.