1.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 1,2y′ + 9y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 1,2y′ + 9y = 0
ζ =
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
كمية تضمحلّ وفق dy/dt = −k·y مع k > 0. قيمتها 120 عند t = 0 و 36 عند t = 9 h. أوجد ثابت المعدل k بالـ h⁻¹.
y(0) = 120y(9) = 36
k = h⁻¹
3.متوسطة
حلّ y″ + 7y′ + 10y = 0 مع y(0) = 3 وy′(0) = 1. أوجد y(2).
y″ + 7y′ + 10y = 0y(0) = 3y′(0) = 1
y(2) =
4.متوسطة
حلّ y″ + 6y′ + 8y = 0 مع y(0) = 5 وy′(0) = -4. أوجد y(1,5).
y″ + 6y′ + 8y = 0y(0) = 5y′(0) = -4
y(1.5) =
5.صعبة
خزان يحتوي 100 L من الماء أُذيب فيه 20 kg من الملح. محلول ملحي يحتوي 0,25 kg من الملح لكل لتر يتدفّق إلى الداخل بمعدل 2 L/min، ويخرج المحلول جيد الخلط بالمعدل نفسه. بعد كم دقيقة t يحتوي الخزان 22 kg من الملح؟
V = 100 Lm0 = 20 kgc = 0,25 kg/Lr = 2 L/min
t = min
6.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 4y′ + 20y = 20 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد القيمة العظمى ymax لاستجابته للدخل الدرجي.
y″ + 4y′ + 20y = 20y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
مفتاح الإجابات
- 1. ζ = 0,2
- 2. k = 0,1338 h⁻¹
- 3. y(2) = 0,09758
- 4. y(1.5) = 0,3909
- 5. t = 25,54 min
- 6. ymax = 1,208
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.