1.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 2y′ + 4y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 2y′ + 4y = 0
ζ =
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
للمعادلة y″ + 5y′ + 6y = 0، أوجد جذر المعادلة المميِّزة r الأقرب إلى الصفر. إنه يحدد مدى بطء تلاشي الحل.
y″ + 5y′ + 6y = 0
r =
3.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 500 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 21 °C. بعد 55 min تكون درجة حرارتها 74 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.
T0 = 500 °CTa = 21 °CT(55) = 74 °C
k = min⁻¹
4.متوسطة
حلّ y″ + 2y′ + y = 0 مع y(0) = 1 وy′(0) = -2. أوجد y(1,5).
y″ + 2y′ + y = 0y(0) = 1y′(0) = -2
y(1.5) =
5.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + y′ + 16,25y = 32,5 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد القيمة العظمى ymax لاستجابته للدخل الدرجي.
y″ + y′ + 16,25y = 32,5y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
6.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + y′ + 16,25y = 32,5 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد y(0,5)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + y′ + 16,25y = 32,5y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.5) =
مفتاح الإجابات
- 1. ζ = 0,5
- 2. r = −2
- 3. k = 0,04003 min⁻¹
- 4. y(1.5) = −0,1116
- 5. ymax = 3,35
- 6. y(0.5) = 2,471
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.