1.سهلة
مقتفٍ مشعّ عمر النصف له 24 يومًا. تحتوي العيّنة في البداية 40 mg. يتبع الاضمحلال dm/dt = −k·m. كم يتبقى m بعد 39 يومًا؟
m0 = 40 mgt½ = 24 dt = 39 d
m = mg
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
للمعادلة y″ + 9y′ + 20y = 0، أوجد جذر المعادلة المميِّزة r الأقرب إلى الصفر. إنه يحدد مدى بطء تلاشي الحل.
y″ + 9y′ + 20y = 0
r =
3.متوسطة
حلّ y″ + 3y′ + 2y = 0 مع y(0) = 1 وy′(0) = 0. أوجد y(1).
y″ + 3y′ + 2y = 0y(0) = 1y′(0) = 0
y(1) =
4.متوسطة
علبة مشروب غازي عند 3 °C أُخرجت من الثلاجة إلى غرفة عند 28 °C. بعد 17 min تكون درجة حرارتها 23 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 25 °C؟
T0 = 3 °CTa = 28 °CT(17) = 23 °CT = 25 °C
t = min
5.صعبة
حلّ y′ + 2y = 9e−3t مع y(0) = 1. أوجد y(1).
y′ + 2y = 9e−3ty(0) = 1
y(1) =
6.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 3y′ + 27,25y = 272,5 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد القيمة العظمى ymax لاستجابته للدخل الدرجي.
y″ + 3y′ + 27,25y = 272,5y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
مفتاح الإجابات
- 1. m = 12,97 mg
- 2. r = −4
- 3. y(1) = 0,6004
- 4. t = 22,4 min
- 5. y(1) = 0,9053
- 6. ymax = 13,9
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.