1.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 1,6y′ + 16y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 1,6y′ + 16y = 0
ζ =
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
مزرعة بكتيرية تبدأ بـ 200 خلية وتنمو وفق dN/dt = k·N مع k = 0,1 h⁻¹. بعد كم ساعة t يصبح عددها 600 خلية؟
N0 = 200k = 0,1 h⁻¹N = 600
t = h
3.متوسطة
كوب قهوة عند 89 °C تُرك في غرفة عند 22 °C. بعد 17 min تكون درجة حرارتها 56 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.
T0 = 89 °CTa = 22 °CT(17) = 56 °C
k = min⁻¹
4.متوسطة
كوب قهوة عند 86 °C تُرك في غرفة عند 19 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,03 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 20 min.
T0 = 86 °CTa = 19 °Ck = 0,03 min⁻¹t = 20 min
T = °C
5.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 4y′ + 29y = 29 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد القيمة العظمى ymax لاستجابته للدخل الدرجي.
y″ + 4y′ + 29y = 29y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
6.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + y′ + 4,25y = 42,5 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد القيمة العظمى ymax لاستجابته للدخل الدرجي.
y″ + y′ + 4,25y = 42,5y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
مفتاح الإجابات
- 1. ζ = 0,2
- 2. t = 10,99 h
- 3. k = 0,0399 min⁻¹
- 4. T = 55,77 °C
- 5. ymax = 1,285
- 6. ymax = 14,56
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.