1.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 3y′ + 36y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 3y′ + 36y = 0
ζ =
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
كمية تنمو وفق dy/dt = k·y مع k > 0. قيمتها 200 عند t = 0 و 360 عند t = 9 h. أوجد ثابت المعدل k بالـ h⁻¹.
y(0) = 200y(9) = 360
k = h⁻¹
3.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 340 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 28 °C. بعد 17 min تكون درجة حرارتها 215 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.
T0 = 340 °CTa = 28 °CT(17) = 215 °C
k = min⁻¹
4.متوسطة
علبة مشروب غازي عند 6 °C أُخرجت من الثلاجة إلى غرفة عند 26 °C. بعد 6 min تكون درجة حرارتها 12 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 8 °C؟
T0 = 6 °CTa = 26 °CT(6) = 12 °CT = 8 °C
t = min
5.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 3y′ + 6,25y = 31,25 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد y(0,75)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + 3y′ + 6,25y = 31,25y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.75) =
6.صعبة
حلّ y″ + 3y′ + 11,25y = 0 مع y(0) = 10 وy′(0) = 0 (تُترك من السكون). أوجد y(0,5)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + 3y′ + 11,25y = 0y(0) = 10y′(0) = 0
y(0.5) =
مفتاح الإجابات
- 1. ζ = 0,25
- 2. k = 0,06531 h⁻¹
- 3. k = 0,03011 min⁻¹
- 4. t = 1,772 min
- 5. y(0.75) = 3,671
- 6. y(0.5) = 2,69
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.