1.سهلة
كمية تنمو وفق dy/dt = k·y مع k > 0. قيمتها 400 عند t = 0 و 720 عند t = 9 h. أوجد ثابت المعدل k بالـ h⁻¹.
y(0) = 400y(9) = 720
k = h⁻¹
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
للمعادلة y″ + 9y′ + 18y = 0، أوجد جذر المعادلة المميِّزة r الأقرب إلى الصفر. إنه يحدد مدى بطء تلاشي الحل.
y″ + 9y′ + 18y = 0
r =
3.متوسطة
علبة مشروب غازي عند 4 °C أُخرجت من الثلاجة إلى غرفة عند 28 °C. بعد 21 min تكون درجة حرارتها 25 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.
T0 = 4 °CTa = 28 °CT(21) = 25 °C
k = min⁻¹
4.متوسطة
علبة مشروب غازي عند 4 °C أُخرجت من الثلاجة إلى غرفة عند 26 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,09 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 19 min.
T0 = 4 °CTa = 26 °Ck = 0,09 min⁻¹t = 19 min
T = °C
5.صعبة
خزان يحتوي 200 L من الماء أُذيب فيه 5 kg من الملح. محلول ملحي يحتوي 0,2 kg من الملح لكل لتر يتدفّق إلى الداخل بمعدل 20 L/min، ويخرج المحلول جيد الخلط بالمعدل نفسه. كم من الملح m يوجد في الخزان بعد 5 min؟
V = 200 Lm0 = 5 kgc = 0,2 kg/Lr = 20 L/min
m = kg
6.صعبة
حلّ y′ + 0,5y = 4e−3t مع y(0) = 0. أوجد y(0,5).
y′ + 0,5y = 4e−3ty(0) = 0
y(0.5) =
مفتاح الإجابات
- 1. k = 0,06531 h⁻¹
- 2. r = −3
- 3. k = 0,09902 min⁻¹
- 4. T = 22,02 °C
- 5. m = 18,77 kg
- 6. y(0.5) = 0,8891
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.