1.سهلة
كمية تضمحلّ وفق dy/dt = −k·y مع k > 0. قيمتها 100 عند t = 0 و 70 عند t = 11 h. أوجد ثابت المعدل k بالـ h⁻¹.
y(0) = 100y(11) = 70
k = h⁻¹
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 1,6y′ + 4y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 1,6y′ + 4y = 0
ζ =
3.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 440 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 21 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,03 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 18 min.
T0 = 440 °CTa = 21 °Ck = 0,03 min⁻¹t = 18 min
T = °C
4.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 400 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 30 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,05 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 17 min.
T0 = 400 °CTa = 30 °Ck = 0,05 min⁻¹t = 17 min
T = °C
5.صعبة
خزان يحتوي 500 L من الماء أُذيب فيه 5 kg من الملح. محلول ملحي يحتوي 0,25 kg من الملح لكل لتر يتدفّق إلى الداخل بمعدل 2 L/min، ويخرج المحلول جيد الخلط بالمعدل نفسه. بعد كم دقيقة t يحتوي الخزان 65 kg من الملح؟
V = 500 Lm0 = 5 kgc = 0,25 kg/Lr = 2 L/min
t = min
6.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 3y′ + 27,25y = 54,5 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد y(0,5)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + 3y′ + 27,25y = 54,5y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.5) =
مفتاح الإجابات
- 1. k = 0,03242 h⁻¹
- 2. ζ = 0,4
- 3. T = 265,2 °C
- 4. T = 188,1 °C
- 5. t = 173,3 min
- 6. y(0.5) = 2,587
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.