1.سهلة
مزرعة بكتيرية تبدأ بـ 2000 خلية وتنمو وفق dN/dt = k·N مع k = 0,12 h⁻¹. بعد كم ساعة t يصبح عددها 20000 خلية؟
N0 = 2000k = 0,12 h⁻¹N = 20000
t = h
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
مقتفٍ مشعّ عمر النصف له 23 يومًا. تحتوي العيّنة في البداية 80 mg. يتبع الاضمحلال dm/dt = −k·m. كم يتبقى m بعد 41 يومًا؟
m0 = 80 mgt½ = 23 dt = 41 d
m = mg
3.متوسطة
علبة مشروب غازي عند 6 °C أُخرجت من الثلاجة إلى غرفة عند 24 °C. بعد 22 min تكون درجة حرارتها 19 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 22 °C؟
T0 = 6 °CTa = 24 °CT(22) = 19 °CT = 22 °C
t = min
4.متوسطة
حلّ y″ + 2y′ + y = 0 مع y(0) = 5 وy′(0) = 0. أوجد y(1).
y″ + 2y′ + y = 0y(0) = 5y′(0) = 0
y(1) =
5.صعبة
خزان يحتوي 500 L من الماء النقي. محلول ملحي يحتوي 0,05 kg من الملح لكل لتر يتدفّق إلى الداخل بمعدل 4 L/min، ويخرج المحلول جيد الخلط بالمعدل نفسه. كم من الملح m يوجد في الخزان بعد 120 min؟
V = 500 Lm0 = 0 kgc = 0,05 kg/Lr = 4 L/min
m = kg
6.صعبة
حلّ y′ + 3y = 7e−t مع y(0) = 4. أوجد y(1,5).
y′ + 3y = 7e−ty(0) = 4
y(1.5) =
مفتاح الإجابات
- 1. t = 19,19 h
- 2. m = 23,25 mg
- 3. t = 37,74 min
- 4. y(1) = 3,679
- 5. m = 15,43 kg
- 6. y(1.5) = 0,7865
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.