1.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 3y′ + 9y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 3y′ + 9y = 0
ζ =
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
للمعادلة y″ + 5y′ + 4y = 0، أوجد جذر المعادلة المميِّزة r الأقرب إلى الصفر. إنه يحدد مدى بطء تلاشي الحل.
y″ + 5y′ + 4y = 0
r =
3.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 480 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 25 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,03 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 30 min.
T0 = 480 °CTa = 25 °Ck = 0,03 min⁻¹t = 30 min
T = °C
4.متوسطة
علبة مشروب غازي عند 5 °C أُخرجت من الثلاجة إلى غرفة عند 30 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,06 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 5 min.
T0 = 5 °CTa = 30 °Ck = 0,06 min⁻¹t = 5 min
T = °C
5.صعبة
حلّ مسألة القيمة الابتدائية y′ + 2y/x = 2x لـ x > 0، مع y(1) = 4. أوجد y(3).
y′ + 2y/x = 2xy(1) = 4
y(3) =
6.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + y′ + 16,25y = 162,5 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد القيمة العظمى ymax لاستجابته للدخل الدرجي.
y″ + y′ + 16,25y = 162,5y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
مفتاح الإجابات
- 1. ζ = 0,5
- 2. r = −1
- 3. T = 210 °C
- 4. T = 11,48 °C
- 5. y(3) = 4,889
- 6. ymax = 16,75
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.