1.سهلة
مقتفٍ مشعّ عمر النصف له 21 يومًا. تحتوي العيّنة في البداية 120 mg. يتبع الاضمحلال dm/dt = −k·m. كم يتبقى m بعد 3 يومًا؟
m0 = 120 mgt½ = 21 dt = 3 d
m = mg
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 4y′ + 100y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 4y′ + 100y = 0
ζ =
3.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 500 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 23 °C. بعد 30 min تكون درجة حرارتها 285 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 414 °C؟
T0 = 500 °CTa = 23 °CT(30) = 285 °CT = 414 °C
t = min
4.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 500 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 20 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,05 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 60 min.
T0 = 500 °CTa = 20 °Ck = 0,05 min⁻¹t = 60 min
T = °C
5.صعبة
حلّ y″ + 2y′ + 10y = 0 مع y(0) = 10 وy′(0) = 0 (تُترك من السكون). أوجد y(0,5)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + 2y′ + 10y = 0y(0) = 10y′(0) = 0
y(0.5) =
6.صعبة
حلّ y′ + 0,5y = 8e−2t مع y(0) = 2. أوجد y(0,5).
y′ + 0,5y = 8e−2ty(0) = 2
y(0.5) =
مفتاح الإجابات
- 1. m = 108,7 mg
- 2. ζ = 0,2
- 3. t = 9,954 min
- 4. T = 43,9 °C
- 5. y(0.5) = 2,446
- 6. y(0.5) = 3,749
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.