1.سهلة
كمية تضمحلّ وفق dy/dt = −k·y مع k > 0. قيمتها 120 عند t = 0 و 66 عند t = 8 h. أوجد ثابت المعدل k بالـ h⁻¹.
y(0) = 120y(8) = 66
k = h⁻¹
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 2,5y′ + 25y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 2,5y′ + 25y = 0
ζ =
3.متوسطة
علبة مشروب غازي عند 5 °C أُخرجت من الثلاجة إلى غرفة عند 29 °C. بعد 18 min تكون درجة حرارتها 19 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.
T0 = 5 °CTa = 29 °CT(18) = 19 °C
k = min⁻¹
4.متوسطة
حلّ y″ + 8y′ + 16y = 0 مع y(0) = 3 وy′(0) = 4. أوجد y(0,5).
y″ + 8y′ + 16y = 0y(0) = 3y′(0) = 4
y(0.5) =
5.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 4y′ + 20y = 20 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد القيمة العظمى ymax لاستجابته للدخل الدرجي.
y″ + 4y′ + 20y = 20y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
6.صعبة
حلّ y′ + 3y = 4e−0,5t مع y(0) = 2. أوجد y(1,5).
y′ + 3y = 4e−0,5ty(0) = 2
y(1.5) =
مفتاح الإجابات
- 1. k = 0,07473 h⁻¹
- 2. ζ = 0,25
- 3. k = 0,04864 min⁻¹
- 4. y(0.5) = 1,489
- 5. ymax = 1,208
- 6. y(1.5) = 0,7602
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.