1.سهلة
للمعادلة y″ + 7y′ + 12y = 0، أوجد جذر المعادلة المميِّزة r الأقرب إلى الصفر. إنه يحدد مدى بطء تلاشي الحل.
y″ + 7y′ + 12y = 0
r =
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 18y′ + 36y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 18y′ + 36y = 0
ζ =
3.متوسطة
حلّ y″ + 3y′ + 2y = 0 مع y(0) = 5 وy′(0) = 6. أوجد y(1,5).
y″ + 3y′ + 2y = 0y(0) = 5y′(0) = 6
y(1.5) =
4.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 380 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 25 °C. بعد 44 min تكون درجة حرارتها 120 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.
T0 = 380 °CTa = 25 °CT(44) = 120 °C
k = min⁻¹
5.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 4y′ + 29y = 290 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد القيمة العظمى ymax لاستجابته للدخل الدرجي.
y″ + 4y′ + 29y = 290y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
6.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 2y′ + 10y = 50 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد القيمة العظمى ymax لاستجابته للدخل الدرجي.
y″ + 2y′ + 10y = 50y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
مفتاح الإجابات
- 1. r = −3
- 2. ζ = 1,5
- 3. y(1.5) = 3,022
- 4. k = 0,02996 min⁻¹
- 5. ymax = 12,85
- 6. ymax = 6,755
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.