1.سهلة
مزرعة بكتيرية تبدأ بـ 1000 خلية وتنمو وفق dN/dt = k·N مع k = 0,22 h⁻¹. بعد كم ساعة t يصبح عددها 3000 خلية؟
N0 = 1000k = 0,22 h⁻¹N = 3000
t = h
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
مقتفٍ مشعّ عمر النصف له 9 يومًا. تحتوي العيّنة في البداية 50 mg. يتبع الاضمحلال dm/dt = −k·m. كم يتبقى m بعد 4 يومًا؟
m0 = 50 mgt½ = 9 dt = 4 d
m = mg
3.متوسطة
حلّ y″ + 7y′ + 10y = 0 مع y(0) = 3 وy′(0) = 4. أوجد y(0,5).
y″ + 7y′ + 10y = 0y(0) = 3y′(0) = 4
y(0.5) =
4.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 420 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 20 °C. بعد 36 min تكون درجة حرارتها 115 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.
T0 = 420 °CTa = 20 °CT(36) = 115 °C
k = min⁻¹
5.صعبة
خزان يحتوي 400 L من الماء أُذيب فيه 5 kg من الملح. محلول ملحي يحتوي 0,2 kg من الملح لكل لتر يتدفّق إلى الداخل بمعدل 20 L/min، ويخرج المحلول جيد الخلط بالمعدل نفسه. كم من الملح m يوجد في الخزان بعد 10 min؟
V = 400 Lm0 = 5 kgc = 0,2 kg/Lr = 20 L/min
m = kg
6.صعبة
حلّ مسألة القيمة الابتدائية y′ + y/x = x لـ x > 0، مع y(1) = 0. أوجد y(2).
y′ + y/x = xy(1) = 0
y(2) =
مفتاح الإجابات
- 1. t = 4,994 h
- 2. m = 36,74 mg
- 3. y(0.5) = 2,056
- 4. k = 0,03993 min⁻¹
- 5. m = 34,51 kg
- 6. y(2) = 1,167
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.