1.سهلة
للمعادلة y″ + 9y′ + 18y = 0، أوجد جذر المعادلة المميِّزة r الأقرب إلى الصفر. إنه يحدد مدى بطء تلاشي الحل.
y″ + 9y′ + 18y = 0
r =
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 2y′ + 4y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 2y′ + 4y = 0
ζ =
3.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 340 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 29 °C. بعد 27 min تكون درجة حرارتها 135 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 238 °C؟
T0 = 340 °CTa = 29 °CT(27) = 135 °CT = 238 °C
t = min
4.متوسطة
حلّ y″ + 8y′ + 16y = 0 مع y(0) = 3 وy′(0) = 1. أوجد y(2).
y″ + 8y′ + 16y = 0y(0) = 3y′(0) = 1
y(2) =
5.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + y′ + 9,25y = 92,5 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد القيمة العظمى ymax لاستجابته للدخل الدرجي.
y″ + y′ + 9,25y = 92,5y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
6.صعبة
حلّ y″ + y′ + 25,25y = 0 مع y(0) = 10 وy′(0) = 0 (تُترك من السكون). أوجد y(1)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + y′ + 25,25y = 0y(0) = 10y′(0) = 0
y(1) =
مفتاح الإجابات
- 1. r = −3
- 2. ζ = 0,5
- 3. t = 9,97 min
- 4. y(2) = 0,009728
- 5. ymax = 15,92
- 6. y(1) = 1,139
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.