1.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 24y′ + 100y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 24y′ + 100y = 0
ζ =
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
مقتفٍ مشعّ عمر النصف له 28 يومًا. تحتوي العيّنة في البداية 80 mg. يتبع الاضمحلال dm/dt = −k·m. كم يتبقى m بعد 33 يومًا؟
m0 = 80 mgt½ = 28 dt = 33 d
m = mg
3.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 300 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 24 °C. بعد 19 min تكون درجة حرارتها 131 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.
T0 = 300 °CTa = 24 °CT(19) = 131 °C
k = min⁻¹
4.متوسطة
حلّ y″ + 7y′ + 10y = 0 مع y(0) = 2 وy′(0) = -2. أوجد y(1,5).
y″ + 7y′ + 10y = 0y(0) = 2y′(0) = -2
y(1.5) =
5.صعبة
خزان يحتوي 500 L من الماء أُذيب فيه 20 kg من الملح. محلول ملحي يحتوي 0,05 kg من الملح لكل لتر يتدفّق إلى الداخل بمعدل 20 L/min، ويخرج المحلول جيد الخلط بالمعدل نفسه. بعد كم دقيقة t يحتوي الخزان 22 kg من الملح؟
V = 500 Lm0 = 20 kgc = 0,05 kg/Lr = 20 L/min
t = min
6.صعبة
حلّ مسألة القيمة الابتدائية y′ + 3y/x = 5x لـ x > 0، مع y(1) = 5. أوجد y(2).
y′ + 3y/x = 5xy(1) = 5
y(2) =
مفتاح الإجابات
- 1. ζ = 1,2
- 2. m = 35,34 mg
- 3. k = 0,04987 min⁻¹
- 4. y(1.5) = 0,1324
- 5. t = 12,77 min
- 6. y(2) = 4,5
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.