1.سهلة
كمية تنمو وفق dy/dt = k·y مع k > 0. قيمتها 500 عند t = 0 و 1950 عند t = 4 h. أوجد ثابت المعدل k بالـ h⁻¹.
y(0) = 500y(4) = 1950
k = h⁻¹
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
للمعادلة y″ + 7y′ + 12y = 0، أوجد جذر المعادلة المميِّزة r الأقرب إلى الصفر. إنه يحدد مدى بطء تلاشي الحل.
y″ + 7y′ + 12y = 0
r =
3.متوسطة
كوب قهوة عند 92 °C تُرك في غرفة عند 24 °C. بعد 22 min تكون درجة حرارتها 32 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 56 °C؟
T0 = 92 °CTa = 24 °CT(22) = 32 °CT = 56 °C
t = min
4.متوسطة
حلّ y″ + 8y′ + 16y = 0 مع y(0) = 2 وy′(0) = 2. أوجد y(1,5).
y″ + 8y′ + 16y = 0y(0) = 2y′(0) = 2
y(1.5) =
5.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 2y′ + 17y = 85 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد القيمة العظمى ymax لاستجابته للدخل الدرجي.
y″ + 2y′ + 17y = 85y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
6.صعبة
حلّ y″ + 3y′ + 6,25y = 0 مع y(0) = 1 وy′(0) = 0 (تُترك من السكون). أوجد y(1,5)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + 3y′ + 6,25y = 0y(0) = 1y′(0) = 0
y(1.5) =
مفتاح الإجابات
- 1. k = 0,3402 h⁻¹
- 2. r = −3
- 3. t = 7,749 min
- 4. y(1.5) = 0,04214
- 5. ymax = 7,28
- 6. y(1.5) = −0,09319
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.