1.سهلة
مزرعة بكتيرية تبدأ بـ 1500 خلية وتنمو وفق dN/dt = k·N مع k = 0,26 h⁻¹. بعد كم ساعة t يصبح عددها 4500 خلية؟
N0 = 1500k = 0,26 h⁻¹N = 4500
t = h
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 3,2y′ + 64y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 3,2y′ + 64y = 0
ζ =
3.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 300 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 29 °C. بعد 55 min تكون درجة حرارتها 59 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.
T0 = 300 °CTa = 29 °CT(55) = 59 °C
k = min⁻¹
4.متوسطة
حلّ y″ + 5y′ + 6y = 0 مع y(0) = 4 وy′(0) = 1. أوجد y(1).
y″ + 5y′ + 6y = 0y(0) = 4y′(0) = 1
y(1) =
5.صعبة
حلّ y″ + 2y′ + 26y = 0 مع y(0) = 3 وy′(0) = 0 (تُترك من السكون). أوجد y(0,25)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + 2y′ + 26y = 0y(0) = 3y′(0) = 0
y(0.25) =
6.صعبة
خزان يحتوي 500 L من الماء النقي. محلول ملحي يحتوي 0,25 kg من الملح لكل لتر يتدفّق إلى الداخل بمعدل 10 L/min، ويخرج المحلول جيد الخلط بالمعدل نفسه. كم من الملح m يوجد في الخزان بعد 65 min؟
V = 500 Lm0 = 0 kgc = 0,25 kg/Lr = 10 L/min
m = kg
مفتاح الإجابات
- 1. t = 4,225 h
- 2. ζ = 0,2
- 3. k = 0,04002 min⁻¹
- 4. y(1) = 1,311
- 5. y(0.25) = 1,18
- 6. m = 90,93 kg
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.