1.سهلة
مزرعة بكتيرية تبدأ بـ 1000 خلية وتنمو وفق dN/dt = k·N مع k = 0,13 h⁻¹. بعد كم ساعة t يصبح عددها 5000 خلية؟
N0 = 1000k = 0,13 h⁻¹N = 5000
t = h
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 4,8y′ + 64y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 4,8y′ + 64y = 0
ζ =
3.متوسطة
حلّ y″ + 6y′ + 9y = 0 مع y(0) = 1 وy′(0) = 0. أوجد y(0,5).
y″ + 6y′ + 9y = 0y(0) = 1y′(0) = 0
y(0.5) =
4.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 300 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 20 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,04 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 50 min.
T0 = 300 °CTa = 20 °Ck = 0,04 min⁻¹t = 50 min
T = °C
5.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 4y′ + 8y = 40 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد y(1,5)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + 4y′ + 8y = 40y(0) = 0y′(0) = 0
y(1.5) =
6.صعبة
خزان يحتوي 500 L من الماء النقي. محلول ملحي يحتوي 0,05 kg من الملح لكل لتر يتدفّق إلى الداخل بمعدل 20 L/min، ويخرج المحلول جيد الخلط بالمعدل نفسه. كم من الملح m يوجد في الخزان بعد 5 min؟
V = 500 Lm0 = 0 kgc = 0,05 kg/Lr = 20 L/min
m = kg
مفتاح الإجابات
- 1. t = 12,38 h
- 2. ζ = 0,3
- 3. y(0.5) = 0,5578
- 4. T = 57,89 °C
- 5. y(1.5) = 5,211
- 6. m = 4,532 kg
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.