1.سهلة
مزرعة بكتيرية تبدأ بـ 5000 خلية وتنمو وفق dN/dt = k·N مع k = 0,34 h⁻¹. كم خلية N توجد بعد 15 h؟
N0 = 5000k = 0,34 h⁻¹t = 15 h
N =
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + y′ + 25y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + y′ + 25y = 0
ζ =
3.متوسطة
حلّ y″ + 8y′ + 15y = 0 مع y(0) = 2 وy′(0) = 2. أوجد y(1,5).
y″ + 8y′ + 15y = 0y(0) = 2y′(0) = 2
y(1.5) =
4.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 320 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 20 °C. بعد 40 min تكون درجة حرارتها 61 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.
T0 = 320 °CTa = 20 °CT(40) = 61 °C
k = min⁻¹
5.صعبة
حلّ مسألة القيمة الابتدائية y′ + y/x = 3 لـ x > 0، مع y(1) = 4. أوجد y(2).
y′ + y/x = 3y(1) = 4
y(2) =
6.صعبة
خزان يحتوي 400 L من الماء النقي. محلول ملحي يحتوي 0,25 kg من الملح لكل لتر يتدفّق إلى الداخل بمعدل 5 L/min، ويخرج المحلول جيد الخلط بالمعدل نفسه. كم من الملح m يوجد في الخزان بعد 115 min؟
V = 400 Lm0 = 0 kgc = 0,25 kg/Lr = 5 L/min
m = kg
مفتاح الإجابات
- 1. N = 820110
- 2. ζ = 0,1
- 3. y(1.5) = 0,06444
- 4. k = 0,04976 min⁻¹
- 5. y(2) = 4,25
- 6. m = 76,25 kg
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.