1.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 4,8y′ + 36y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 4,8y′ + 36y = 0
ζ =
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
مقتفٍ مشعّ عمر النصف له 26 يومًا. تحتوي العيّنة في البداية 200 mg. يتبع الاضمحلال dm/dt = −k·m. كم يتبقى m بعد 41 يومًا؟
m0 = 200 mgt½ = 26 dt = 41 d
m = mg
3.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 320 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 30 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,05 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 18 min.
T0 = 320 °CTa = 30 °Ck = 0,05 min⁻¹t = 18 min
T = °C
4.متوسطة
علبة مشروب غازي عند 5 °C أُخرجت من الثلاجة إلى غرفة عند 25 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,08 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 26 min.
T0 = 5 °CTa = 25 °Ck = 0,08 min⁻¹t = 26 min
T = °C
5.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + y′ + 16,25y = 16,25 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد القيمة العظمى ymax لاستجابته للدخل الدرجي.
y″ + y′ + 16,25y = 16,25y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
6.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 4y′ + 13y = 13 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد y(0,5)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + 4y′ + 13y = 13y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.5) =
مفتاح الإجابات
- 1. ζ = 0,4
- 2. m = 67,04 mg
- 3. T = 147,9 °C
- 4. T = 22,5 °C
- 5. ymax = 1,675
- 6. y(0.5) = 0,7293
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.