1.سهلة
مزرعة بكتيرية تبدأ بـ 1500 خلية وتنمو وفق dN/dt = k·N مع k = 0,11 h⁻¹. كم خلية N توجد بعد 10 h؟
N0 = 1500k = 0,11 h⁻¹t = 10 h
N =
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
للمعادلة y″ + 5y′ + 6y = 0، أوجد جذر المعادلة المميِّزة r الأقرب إلى الصفر. إنه يحدد مدى بطء تلاشي الحل.
y″ + 5y′ + 6y = 0
r =
3.متوسطة
كوب قهوة عند 89 °C تُرك في غرفة عند 23 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,1 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 17 min.
T0 = 89 °CTa = 23 °Ck = 0,1 min⁻¹t = 17 min
T = °C
4.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 400 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 26 °C. بعد 43 min تكون درجة حرارتها 93 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 63 °C؟
T0 = 400 °CTa = 26 °CT(43) = 93 °CT = 63 °C
t = min
5.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 3y′ + 27,25y = 136,3 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد القيمة العظمى ymax لاستجابته للدخل الدرجي.
y″ + 3y′ + 27,25y = 136,3y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
6.صعبة
حلّ مسألة القيمة الابتدائية y′ + y/x = 2 لـ x > 0، مع y(1) = 4. أوجد y(2).
y′ + y/x = 2y(1) = 4
y(2) =
مفتاح الإجابات
- 1. N = 4506
- 2. r = −2
- 3. T = 35,06 °C
- 4. t = 57,85 min
- 5. ymax = 6,948
- 6. y(2) = 3,5
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.