1.سهلة
كمية تنمو وفق dy/dt = k·y مع k > 0. قيمتها 80 عند t = 0 و 104 عند t = 6 h. أوجد ثابت المعدل k بالـ h⁻¹.
y(0) = 80y(6) = 104
k = h⁻¹
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
للمعادلة y″ + 8y′ + 15y = 0، أوجد جذر المعادلة المميِّزة r الأقرب إلى الصفر. إنه يحدد مدى بطء تلاشي الحل.
y″ + 8y′ + 15y = 0
r =
3.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 380 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 29 °C. بعد 41 min تكون درجة حرارتها 132 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.
T0 = 380 °CTa = 29 °CT(41) = 132 °C
k = min⁻¹
4.متوسطة
حلّ y″ + 6y′ + 8y = 0 مع y(0) = 3 وy′(0) = 2. أوجد y(1,5).
y″ + 6y′ + 8y = 0y(0) = 3y′(0) = 2
y(1.5) =
5.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 3y′ + 6,25y = 31,25 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد القيمة العظمى ymax لاستجابته للدخل الدرجي.
y″ + 3y′ + 6,25y = 31,25y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
6.صعبة
حلّ y″ + 3y′ + 18,25y = 0 مع y(0) = 1 وy′(0) = 0 (تُترك من السكون). أوجد y(0,5)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + 3y′ + 18,25y = 0y(0) = 1y′(0) = 0
y(0.5) =
مفتاح الإجابات
- 1. k = 0,04373 h⁻¹
- 2. r = −3
- 3. k = 0,0299 min⁻¹
- 4. y(1.5) = 0,3386
- 5. ymax = 5,474
- 6. y(0.5) = −0,0355
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.